Sonlu Elemanlar Analizi Nedir?
Sonlu Elemanlar Analizi (FEA), Sonlu Elemanlar Metodu (FEM) adı verilen sayısal tekniğin kullanıldığı herhangi bir fiziksel olgunun simülasyonudur. Mühendisler, daha iyi ürünler geliştirmek için fiziksel prototip ve deneylerin sayısını azaltmak ve bileşenleri tasarım aşamasında optimize etmek için bu yöntemi kullanırlar.
Yapı veya akışkan davranışı, termal taşınım, dalga yayılımı, biyolojik hücrelerin büyümesi, vb. gibi herhangi bir fiziksel olguyu kapsamlı olarak anlamak ve nicelleştirmek için matematiğin kullanılması gereklidir. Bu işlemlerin çoğu Kısmi Diferansiyel Denklemler (PDE’ler) kullanılarak açıklanır. Ancak, bu denklemleri bir bilgisayarın çözmesi için, son birkaç on yıl içinde sayısal teknikler geliştirildi ve günümüzde bunların önde gelenlerinden biri, Sonlu Elemanlar Analizi’dir.
Diferansiyel denklemler sadece doğal süreçleri değil, aynı zamanda mühendislik mekaniğinde karşılaşılan fiziksel olayları da tanımlayabilir. Bu kısmi diferansiyel denklemler, bir yapıdaki alakalı nicelikleri (gerilme türü, ısı transferi vb.) hesaplamak ve belirli bir yük altında incelenen bileşenin belirli bir davranışını tahmin etmek için çözülmesi gereken karmaşık denklemlerdir. FEA sadece problemin yaklaşık bir çözümünü verdiğini ve bu kısmi diferansiyel denklemlerin gerçek sonucunu elde etmek için sayısal bir yaklaşım olduğunu bilmek önemlidir. Basitleştirilmiş haliyle, FEA, belirli koşullar altında bir parçanın veya montajın nasıl davrandığını tahmin etmek için kullanılan sayısal bir yöntemdir. Modern simülasyon yazılımları için temel olarak kullanılır ve mühendislerin tasarımlarında zayıf noktaları bulmalarına yardımcı olur. FEA yöntemine dayanan bir simülasyonun sonuçları şekilde gösterildiği gibi, genellikle bir renk skalası ile tasvir edilir.
Böl, Parçala, Fethet!
Simülasyon yapabilmek için, bir araya geldiğinde yapının şeklini oluşturması gereken milyonlarca küçük elementten oluşan bir ağ gerekir. Her bir eleman için hesaplamalar yapılır. Bireysel sonuçları birleştirmek bize yapının nihai sonucunu verir. Bahsettiğimiz yaklaşımlar genellikle polinomdur ve aslında eleman(lar) üzerinden yapılan enterpolasyonlardır. Bu, elemanın içindeki belirli noktalardaki değerleri bildiğimiz, ancak her noktayı bilemediğimiz anlamına gelir. Bu “belirli noktalar” düğüm (nodal) noktaları olarak adlandırılır ve genellikle elemanın sınırında bulunur. Değişken ile değişen doğruluk değeri; doğrusal, kuadratik, kübik vb. olabilecek yaklaşım ile ifade edilir.
Yaklaşım tekniklerinin daha iyi anlaşılması için, tek boyutlu bir çubuğa bakacağız. Aşağıdaki resimdeki çubuk boyunca gerçek sıcaklık dağılımını T (x) düşünün:
Bu çubuğun sıcaklığını 5 spesifik konumda (resimdeki 1-5 arası rakamlar) bildiğimizi varsayalım. Şimdi soru şu: Bu noktalar arasındaki sıcaklığı nasıl tahmin edebiliriz? Doğrusal bir yaklaşım oldukça iyidir ancak gerçek sıcaklık dağılımını temsil etmek için daha iyi olasılıklar vardır. Bir kare yaklaşımı seçersek, çubuk boyunca sıcaklık dağılımı çok daha pürüzsüz olur. Yine de, polinom derecesine bakılmaksızın, nodal noktalarındaki değerleri bildiğimizde çubuk üzerindeki dağılımın bilinir olduğunu görürüz.
Ağ Yakınsama
Doğruluğu etkileyen hesaplamalı mekaniğin en çok gözden kaçan konularından biri, ağ yakınsamadır. Bu, bir analiz sonucunun, ağ boyutunun büyüklüğünü değiştirerek etkilenmemesini sağlamak için elemanların ne kadar küçük olması gerektiğiyle ilgilidir.
Yandaki şekil, serbestlik derecelerindeki artışla miktarın yakınsamasını göstermektedir. En az üç nokta göz önünde bulundurulmalı ve ağ yoğunluğu arttıkça, yakınsama miktarı belirli bir değere yaklaşmaya başlar. Eğer iki müteakip ağ çözümleme işlemi sonucu önemli ölçüde değiştirmezse, o zaman sonucun yakınsak olduğunu varsayabiliriz.
Yandaki şekilde gösterildiği gibi iki tür ağ çözümleme (h ve p uyarlama) vardır. h-uyarlama, eleman boyutlarındaki azalma ile ilgilidir, p-uyarlama, elemanın sırasını arttırmaya ilişkindir.
Burada geometrik etki ile ağ yakınsaması arasında, özellikle düz (veya doğrusal) elemanların kullanıldığı kavisli bir yüzeyin takılması, sınırı tam olarak yakalamak için daha fazla eleman (veya ağ çözümleme) gerektirdiğinde, önemlidir.
Ağ çözümleme, hatalarda önemli bir azalmaya yol açar. Görüldüğü üzere çözümlenen eleman sayısı arttıkça, yani ağ yapısı inceldikçe hata payı azalır ve net sonuca daha çok yaklaşılır.
Sonuç olarak Sonlu Elemanlar Analizi ile belirlediğimiz malzemede, belirlediğimiz noktalarda gerçekleşecek olan gerilme türleri, sıcaklık değişimi, ısı transferi gibi olguların sonuçlarını daha net bir yaklaşımla elde etmiş oluruz.
Uygulama Alanları Nelerdir?
Başlıca kullanım alanları şunlardır:
Mekanik / Uzay / Sivil / Otomotiv Mühendislikleri
Yapı / Gerilme Analizi
Statik / Dinamik
Doğrusal / Doğrusal Olmayan Akışkan Akışı
Isı transferi
Elektromanyetik alanlar
Zemin Mekaniği
Akustik
Biyomekanik
Kaynaklar: https://www.simscale.com/docs/content/simwiki/fea/whatisfea.html
https://www.engr.uvic.ca/~mech410/lectures/FEA_Theory.pdf
Ayrıca bkz: Şu sayfadaki ikinci entrye de felsefi bir yaklaşımı için bakabilirsiniz;
https://eksisozluk.com/sonlu-eleman-analizi–144942?p=4
