Fizikte herhangi bir eşitlik yazıldığında denklemin her iki tarafının da boyutu aynı olmak zorundadır. Fiziksel büyüklüklerin boyutları M(mass: kütle), L(length: uzunluk) ve T(time: zaman) ile bağlantılıdır. Bunların her biri de kuvvetleriyle orantılı olarak artar. Örneğin; fiziksel bir büyüklük olan hızın boyutu “uzunluk/zaman”dır (L/T) ve kuvvetin de boyutu “kütle×ivme” veya “kütle × (uzunluk/zaman)/ zaman”dır(ML/T2).
Neden Boyut Analizi Yaparız?
Genellikle türevli denklemlerin ve olasılıkların hesaplamalarını kolaylaştırmak amacıyla kullanılır. Bunun dışında hazırlanmış bir prototiple ilgili yeni yasalar elde etmek ve boyutsuz parametreler oluşturmak için kullanılır.
Bir araba düşünelim. Bu arabanın üretime geçmeden önce testlerin uygulanması için prototipine ihtiyaç vardır. Ancak prototip hazırlamak çoğu zaman oldukça maliyetlidir. Bu ekstra maliyeti ortadan kaldırmak için arabanın gerçek ölçülerine uygun modeli üretilir. Boyut analizinden yararlanılarak prototipe uygulanacak testler model üzerinden gerçekleştirilebilir. Kinematik benzerlik, geometrik benzerlik ve dinamik benzerlikler kullanılarak prototiple model arasında tam benzerlik kurulur.
Geometrik Benzerlik: Model ile prototip boyutları arasında oran sabiti olmasıdır. Model ile prototip aynı geometrik şekle sahip olmalıdır.
Kinematik Benzerlik: Model ile prototipin hızları arasında oran sabiti olmasıdır.
Dinamik Benzerlik: Model ve prototip akışlarında ortaya çıkan tüm kuvvetlerde oran sabiti olmasıdır.
Tam benzerliğin sağlanması için yukarıdaki üç benzerlik çeşidinin sağlanmış olması gerekir. Bu benzerlikler tüm boyutsuz parametrelerin (büyük P harfi ile gösterilir) aynı olması ile sağlanır.
Buckingham Teoremi
Bu yöntem ile çok fazla parametre içeren denklemlerin boyut analizini yapmak kolaylaştırılır. Öncelikle problemdeki tüm parametrelerin sayısı belirlenir(n). Daha sonra bu parametrelerin içinden boyutsuz ve aynı boyuta sahip olmayan parametreler belirlenir(j). k= n-j değeri hesaplanır. Son olarak k değeri kadar P denklemi yazılır ve daha az işlem yapılmış olur.
Boyutsal Homojenlik Yasası
Bu yasa, denklemde toplanan tüm terimlerin aynı boyutta olması gerektiğini ifade eder. Aslında bu yasayı hepimiz “Elma ile armut toplanamaz.” kalıbı ile biliyoruz. Tüm mühendislerin bildiği Bernoulli Denklemi ile Boyutsal Homojenlik Yasasını örneklendirelim.
p= {kuvvet/alan}={kütle x uzunluk/zaman x 1/uzunluk^2 } = {m/(t^2L)}
1/2rV^2= {kütle/uzunluk^3 x (uzunluk/zaman)^ 2 } = {m/(t^2L)}
rgz = {kütle/uzunluk3 x uzunluk/zaman^2 x uzunluk} ={m/(t2^L)}
Denklemlerin Boyutsuzlaştırılması
Denklemler boyutsuzlaştırıldığında problemdeki parametre sayısı azalır. Bu sayede daha az simülasyon ve deney ihtiyacı doğar. Bu da üretim aşamasında maliyeti düşürür. Bu yüzden boyutsuzlaştırma oldukça öneme sahiptir.
Boyutsal olarak homojen bir denklemin her bir terimini değişken ve sabitlerden oluşan bir gruba böldüğümüzde, denklemi boyutsuzlaştırmış oluruz.
Kaynaklar
wikipedia.org
bilecik.edu.tr
istembil.com
